jueves, septiembre 20, 2007

Paralelepípedo

Un paralelepípedo de dimensiones 150x324x375 se construye pegando cubitos de 1x1x1. Se traza una diagonal interior del sólido, ¿a través de interior cuántos cubitos unitarios pasa esta diagonal? (los cubos unitarios que sólo son tocados en una arista o un vértice no cuentan).

1 Comments:

Blogger leonsotelo said...

Un paralelepípedo de dimensiones 150 x 324 x 375 se construye pegando cubitos de 1 x 1 x 1.
Una diagonal interior del sólido pasa a través del interior de ¿cuántos cubitos unitarios?.

Empecemos por el caso bidimensional (rectángulo de lados m x n), y contemos las celdas que va atravesando la línea. Cada vez que atraviesa un plano, se añade una celda al cómputo, salvo si atraviesa dos o más a la vez. Al final, esto se habrá producido en un número de casos igual al máximo común divisor de m y n, por lo que fácilmente concluímos que:

N = m+n-mcd(m,n)

En el caso de tres es análogo. Cada vez que se atraviesa una arista deja de añadirse una celda al cómputo, y esto ocurre para los mcd de (m,n), de (m,p) y de (n,p). Pero cuando pasamos por un nudo de la red estamos restando tres unidades cuando sólo deberíamos restar 1, por lo que hay que restablecer las casillas indebidamente restadas, resultando al final:

N = m+n+p-mcd(m,n)-mcd(m,p)-mcd(n,p)+mcd(m,n,p)

Saludos
León-Sotelo

4:39 a. m.  

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